2021.02 勉強ログ

解析(杉浦解析入門I)．

• 数列の極限についての演習問題． 実力が足りないために難しいものも多く，略解を読んでもただちには理解できないものがほとんどである． しかし，時間がかかっても地道にやっていくことでしか力はつかないので，ゆっくりやっていく． 今日は大問は3つだけ解いた．

解析(杉浦解析入門I)．

• はさみうちの原理など． この本に載っている証明は無駄がないので，途中計算はすべて自分で補う必要がある． いちいちどの定義を使ったかなどは書かれないので，たとえば数列の極限の $\epsilon$ 近傍による定義などもきちんと頭に入れておく必要がある． だいたい1ページ読むのに1.5時間ぐらい悩むことが多い．

解析(杉浦解析入門I)．数列の極限の性質について，極限を取る操作と，四則演算の順序が交換できることを勉強した．

解析(杉浦解析入門I，演習)

• 数列の極限の定義に基づいた証明 (いわゆる $\epsilon$ - $N$ 論法) の演習．やっぱり演習は大事である！
• 数列の極限の性質について少しだけ．
• 実数の性質について(連続の公理，最大・最小・上限・下限など)ひととおりまとめ．

解析，線型代数，Haskell．

• 解析: 引き続き杉浦解析入門I．整数，有理数の定義をした． その後実数列の定義(実数列は $\mathbb{N}$ から $\mathbb{R}$ への写像として定義される)をし，数列の極限の定義をおこなった． 数列の極限 $a = \lim_{n \to \infty} a_n$ は， $$(\forall \epsilon > 0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N})(n \geq n_0 \Rightarrow |a - a_n| \lt \epsilon)$$ と定義される． このあたりはとくに目新しいものはなさそう． $\epsilon$近傍の話が早めに登場したぐらいか． $\epsilon$ - $N$ 論法についていくつかの簡単な例が載っていたが，少し不安があったので自分で簡単なものについて演習もおこなった． 証明の際には，どこからともなく $n_0$ が出てくるのではなく，最終的に示したい不等式 ($|a - a_n| < \epsilon$) から，$\epsilon$ に対して $n_0$ がどのような値をとればよいかをまず逆算するのであるが， そのあたりのコツを少し忘れていそうである． 明日も引き続き，いくつかの数列の極限について，定義に基づいた証明の演習をしたい．理論的な面も大事であるが，知識の整理のためにも(そして院試をにらんで)演習は大事．
• 線型代数: 引き続き佐武線型代数学．行列の演算について．これは完全に基礎的な部分の復習になった． $(n,m)$行列の加法やスカラー乗法がそのまま $nm$次元のベクトルの加法やスカラー乗法とみなせる，という点は新鮮であった．
• Haskell: プログラミングHaskell を引き続き．今日は第3章 型と型クラス に取り組んだ．基本型，リスト・タプル，関数とカリー化，型クラス，多相型，多重定義型について． 次は関数定義であるが，パターンマッチやラムダ式，セクションなどが出てくるようなので楽しみ．

Haskell, 解析入門，佐武線型代数学．

• Haskell: プログラミングHaskell を読みはじめた． 本格的な関数型言語に触れるのは，学生時代に Scheme をやって以来である． Haskell は非常に数学的な考え方が使われているので，数学の勉強をしていることと相性が良い． 昔なら「内包」とか「全域関数」などの言葉が出てきたとたんに難しく感じていたが，1年間数学をやってそのあたりの抵抗感がまるでなくなったようだ．
• 解析入門: §2. 実数列の極限の終わりまでざっと目を通した．これから整数・有理数の定義あたりから精読していく．
• 線型代数学: 挫折していたが再度挑戦．今日はベクトルの演算について．このあたりはさすがにしっかり身についているようだ．

引き続き解析入門．二項定理の証明をした．ちょっと途中計算がしっくりこないのでまたやり直すことにする．

引き続き解析入門を読んだ．主に数学的帰納法の原理について考えていた． 自然数の定義に始まり，継承的であるという性質から，自然に数学的帰納法が導かれており感動．

post 3.11 研究会にゲスト参加させていただき，日本における原子力史について学んだ．まだまだたくさん勉強せねば・・・

Programming in Haskell が届いた．少しずつやらねば．

ひどい片頭痛によりなにもできず．．．

引き続き松坂『集合・位相入門』を読む．週末から少しサボり気味であった．

• §3.対応，写像を読んでいく．
• A) 2つの集合の直積 ここは単に直積の定義であるから難しくない．
• p.23 に出てくる「Descartes 座標」はデカルト座標 = 直行座標．デカルトってこう書くんだ．．．
• B) 対応の概念

  集合 $A,B$， 規則 $\Gamma$ について，対応を次のように定義する．

  対応

  各 $a\in A$ に対して，規則 $\Gamma$ によって，それぞれ $B$ の部分集合 $\Gamma (a)$ が定められるとき， 規則 $\Gamma$ を $A$ から $B$ への 対応 という． また，$B$ の部分集合 $\Gamma (a)$ を $a$ の $\Gamma$ による 像 といい， $A$ を対応 $\Gamma$ の 始集合，$B$ を対応 $\Gamma$ の 終集合 という．

  $\Gamma : A \rightarrow B$ または $A \xrightarrow{\Gamma} B$ は， $\Gamma$ が $A$ から $B$ への対応であることを表す．

  対応の相等

  $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ がいずれも $A$ から $B$ への対応で， $\forall a \in A, \Gamma (a) = \Gamma^{\prime} (a)$ が成り立つとき， $\Gamma$ と $\Gamma^{\prime}$ は等しい といい， $\Gamma = \Gamma^{\prime}$ とかく．